Nació en el barrio de Saavedra, de la ciudad de Buenos Aires, un 29 de enero de 1926.

Su madre fue lavandera y su padre -que murió a los 26 años- tuvo el tiempo suficiente para componer algunos tangos e incentivar su temprana vocación. A los 12 años Roberto debió salir a trabajar y fue oficinista, y chofer de colectivos y camiones. En 1944, a los 18 años, ganó un certamen de voces nuevas organizado por el Club Federal Argentino y entró a la orquesta del violinista Raúl Kaplún. 

En 1952 fue convocado por Horacio Salgán para reemplazar al cantor Horacio Deval y compartir escenario con Ángel Díaz, que fue quien lo bautizó como “Polaco”, por ser delgado y tener el pelo rubio, similar a los jóvenes inmigrantes de origen polaco.

En 1956, a los treinta años, se convirtió en el cantor de la orquesta de Aníbal Troilo, de quien fue admirador y su entrañable amigo.

En 1963, alentado por el propio Troilo, se desvinculó de la orquesta para continuar como solista. Es entonces que Armando Cupo, Luis Stazo y Mario Monteleone integraron el Trío Los Modernos para acompañar a Goyeneche. Con ellos grabó varios temas, entre los cuales se destacan los tangos Frente al mar, No nos veremos más, Que falta que me haces y el vals Carrusel. ​ Unos años después, ya solista, se volvió a asociar con Troilo en dos LP titulados Nuestro Buenos Aires, en 1968 y ¿Te acordás Polaco? en 1971.

En 1969 grabó Balada para un Loco y Chiquilín de Bachín de Astor Piazzolla y Horacio Ferrer, contribuyendo al debate sobre lo que debía ser aceptado o no como tango.

En la década de 1970, continuó su actividad solista acompañado por diversas orquestas, pero, los tres discos que grabó en colaboración con Atilio Stampone constituyeron hitos en su trayectoria y, a juzgar por quien escribe, la mejor época de El Polaco. Con los innovadores arreglos del director inmortalizó los tangos Afiches, Maquillaje, Chau no va más, Naranjo en Flor, Grisel, Canción desesperada, entre otros.

Aunque en la década de 1980 comenzó a sufrir afecciones respiratorias y en sus cuerdas vocales, Goyeneche siguió presentándose en conciertos y grabando nuevos álbumes, principalmente acompañado por Raúl Garello.

En 1985, a Goyeneche le llegó el reconocimiento internacional: actuó en el Teatro Châtelet de París con Horacio Salgán, el Sexteto Mayor, Jovita Luna, Elba Berón y seis parejas de bailarines. 

Ese mismo año, 1985, recibió el Premio Konex como uno de los mejores cantantes de tango de la historia en Argentina y hacia el final de la década grabó sus últimos discos con Raúl Garello y Néstor Marconi, quien se convirtió en su habitual acompañante en vivo. En 1989, fue justamente en compañía de Marconi que se presentó con gran éxito en Japón, en el que fue su último recital internacional.

En 1993, el sello Melopea registró Amigos, su último álbum. Lo acompañaron en la ocasión Néstor Marconi, Litto Nebbia, Esteban Morgado, Walter Ríos, el Sexteto de Carlos Buono y Adriana Varela, de quien fue padrino artístico. Finalmente, sus últimas grabaciones fueron un dúo con Mercedes Sosa en el tango "Los Mareados" y una colaboración con el violinista Antonio Agri y el guitarrista Esteban Morgado en el tango "Viejo ciego".

Fue, además, un apasionado, reconocido y fiel hincha del Club Platense. En su homenaje, una avenida del barrio de Saavedra lleva su nombre, al igual que la tribuna popular del Estadio Ciudad de Vicente López  Asimismo, el Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires nombró al paso bajo nivel ubicado en la Av. Balbín como "Goyeneche-Gatica" y se colocó una estatua suya justo enfrente a la entrada al Parque Sarmiento. Por su parte, Cacho Castaña compuso en su honor el mítico Garganta con arena, que llegó a ser interpretado por el propio Goyeneche.  ​

En cine, tuvo algunas participaciones menores en diversas películas, pero su consagración llegó en la película "Sur" en 1987, de Pino Solanas.

Tuvo una especial conexión con las nuevas generaciones de la música.  Con Litto Nebbia, cultivó una especial amistad y cariño y, a través de su sello Melopea, le produjo sus últimos discos. El Polaco fue quien descubrió a Adriana Varela, cantaron juntos y fue su ahijada artística. También se recuerda el simbólico abrazo que se dieron con Fito Páez en la película "Sur", y su amistad con Charly García, Andrés Calamaro y Ricardo Mollo, el cantante de Divididos

Llegó a grabar cerca de cien discos y se dio el gusto de ser acompañado por las más prestigiosas orquestas, tales como la de Pontier, Baffa-Berlingieri, Pugliese, Piazzolla, Atilio Stampone y la Filarmónica del Teatro Colón, además de Troilo en sus inicios.

Dueño de un personalísimo estilo que fue acentuando con los años.  Uno de sus mayores méritos fue que, gracias a su “decir” y narrar las letras, hizo que el gran público descubriera las historias que contaban los tangos.

Su expresividad, su fraseo, y su particular modo de colocar la voz, el manejo de los acentos y los silencios, el arrastre de alguna palabra en la letra, o el susurro intimista de los versos, forjaron su personal estilo. Cacho Castaña en Garganta con Arena dice que el Polaco emociona, “diciendo el punto y coma, como nadie lo cantó.”

Fue un artista inimitable, que trascendió los límites del tango.  No cantaba los tangos, los interpretaba, pasaban a través de él y nos los traducía con toda su magia.

En los últimos años de su vida cuando comenzó la decadencia de su voz, lejos de mellar su popularidad lo elevó a la categoría de mito viviente.  Hasta que nos dejó un 27 de agosto de 1994, a causa de una neumonía.

Si Ud. alguna vez caminó una noche de invierno bajo la garúa, el Polaco así se lo hacía sentir:

Las gotas caen en el charco de mi alma.

Hasta los huesos, calados y helado.

Y humillando este tormento

todavía pasa el viento, empujándome

Garúa... tristeza...

¡Hasta el cielo se ha puesto a llorar!

Garúa, de Troilo y Cadícamo en la inigualable versión del Polaco Goyeneche

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